圣彼得堡：一场 287 年的赌局

ACT 01

邀请下注

"我开个赌局——抛硬币直到第一次正面，第 n 次出正面你赢 2ⁿ 元。你愿付多少入场费玩一局？"

游戏规则

① 不停抛一枚均匀硬币
② 直到第一次出现正面 N
③ 你赢得 2^N 元

例：第 1 次正面赢 ¥2，第 2 次赢 ¥4，第 5 次赢 ¥32，第 10 次赢 ¥1024……

你的入场费报价

¥

大多数人填 10–50 元 · 你也可以从 5 块开始体验

你的 5 局战绩

局次	抛掷次数 N	奖金 2^N	盈亏（按报价 {{ userPrice }} 元）
第 {{ i+1 }} 局	{{ r.n }} 次	¥ {{ r.payoff.toLocaleString() }}	{{ (r.payoff - userPrice > 0 ? '+' : '') + (r.payoff - userPrice).toLocaleString() }}
合计	—	¥ {{ act1Total.toLocaleString() }}	{{ (act1Pnl > 0 ? '+' : '') + act1Pnl.toLocaleString() }}

5 局太少了？让我们玩 1 万次给你看 ↓

ACT 02

悖论显形

"如果你的报价是对的，平均收益应该稳定在它附近。现在让我们玩 10 000 局看看——"

期望的严格推导

$$E[X] = \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \cdot \tfrac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} 1 = +\infty$$

每一项都恰好为 1，无穷项相加即正无穷——按数学，理性人应付出无限元。

累积平均收益 $\bar X_N$

已模拟 {{ act2.totalSamples.toLocaleString() }} 局

累积均值你的报价 ¥{{ userPrice }} Feller 渐近 $\log_2 N$

收益分布（log₂ x 轴）

厚尾形态

¥{{ act2.empiricalMean.toFixed(2) }}

当前经验均值 $\bar X_N$

¥{{ act2.fellerExpected.toFixed(2) }}

Feller 理论 $\log_2 N$

💡 反复点"再来 1 万次"——你会看到经验均值不断跳跃，永不真正收敛。这就是大数定律对无穷期望失效的可视证据。

ACT 03

Bernoulli 救场

"1738 年，年仅 38 岁的 Daniel Bernoulli 给出了第一个解释—— 人不算钱，算"幸福"。"

Daniel Bernoulli 肖像（AI 生成） — Daniel Bernoulli (1700–1782)

瑞士数学家 · 1738 年《圣彼得堡科学院评论》

效用：财富 ≠ 幸福

$u(x) = \ln x$ · 边际效用递减

1选择效用函数

CRRA 风险厌恶系数 γ = {{ gamma.toFixed(2) }}

2计算期望效用

$E[u(X)] = \sum_{n=1}^{\infty} u(2^n) \cdot 2^{-n}$

期望效用

3反推公平价

$C = u^{-1}\bigl(E[u(X)]\bigr)$

¥{{ formatNum(currentFairPrice) }}

应付的"公平入场费"

你的报价 ¥{{ userPrice }} ： {{ Math.abs(userPrice - currentFairPrice) < currentFairPrice * 0.5 ? '吻合 ✓' : '差距较大' }}

不同效用下的公平价对比

效用函数	$E[u(X)]$	公平价 $C$	vs 你的报价 ¥{{ userPrice }}
{{ row.name }}	{{ row.eu }}	{{ row.fair }}	{{ row.tag }}

💡 你的报价（约 ¥{{ userPrice }}）通常落在对数效用 ¥4 与平方根效用 ¥11.66之间，说明人脑大致在用一个介于两者之间的凹效用函数。

ACT 04

现代视角

"Bernoulli 的解法有 bug——1934 年 Menger 证明：log 也救不了。 1956 年 Kelly 换问题。2011 年 Peters 给出最终答案。"

4.1 — MENGER 1934

超圣彼得堡反例

把奖金从 $2^n$ 改成 $e^{2^n}$ 试试——

$$E[\ln X] = \sum_{n=1}^\infty \ln(e^{2^n}) \cdot 2^{-n} = \sum_{n=1}^\infty 2^n \cdot 2^{-n} = +\infty$$

⚠️ 对数效用下期望仍然发散。Menger 证明：任何无界效用函数都救不了某个反例。

4.2 — REALITY CHECK

庄家的钱不是无限的

设庄家最多赔付 $M$ 元，则真实期望：

$$E[\min(X, M)] \approx \log_2 M + 2$$

庄家资金上限 M = ${{ formatBigNum(bankerCap) }}

$M = 10^{ {{ bankerCapExp.toFixed(1) }} }$（{{ bankerCapDesc }}）

¥{{ truncatedExpectation.toFixed(1) }}

截断后的真实公平价

即使 $M$ 大到全球 GDP，公平价也不超过 ¥60。
这就是所有保险公司、彩票、衍生品都用截断的原因。

4.3 — KELLY 1956

把"该付多少"换成"该投多少比例"

1956 年 Bell Labs（AI 生成） — 1956 · BELL LABS · MURRAY HILL

John L. Kelly Jr. 把 Shannon 的信道容量公式搬到了赌桌

与其问"该付多少钱玩一局"，不如问：如果可以反复玩，该把资本的多少比例 $f$ 投入？

$$f^* = \arg\max_f E\bigl[\ln(1 + f \cdot R)\bigr]$$

投注比例 $f$ = {{ (kellyF * 100).toFixed(1) }}%

最优 $f^* \approx 3.4\%$（理论解）

100 条独立财富轨迹（log y 轴）

4.4 — PETERS 2011 · NATURE PHYSICS

遍历经济学：悖论的最终答案

"圣彼得堡悖论的根本原因不是数学，而是经济学的一个隐藏概念错误—— 把'集合均值'等同于'时间均值'。"

集合均值 vs 时间均值（AI 生成） — ← ENSEMBLE 1 万人平行宇宙各 1 局

TIME 1 人单条时间轴 1 万局 →

ENSEMBLE 集合均值

1 万个玩家在平行宇宙里各玩 1 局，平均收益 = ?

¥{{ ergodicData.ensemble.toFixed(1) }}

集合均值（不断发散）

TIME 时间均值

1 个玩家在时间轴上玩 1 万局，对数增长率 = ?

时间均值（log 增长率，有限）

两者不相等！

圣彼得堡这种乘性、厚尾过程是非遍历的。经济学传统假设遍历性，所以才有了"悖论"。理解了遍历性，悖论从来不是悖论。

ACT 05

现实回响

"狗狗币 100 倍、雷曼破产、彩票永远赔本—— 这些故事都有圣彼得堡的影子。"

现代不确定性蒙太奇（AI 生成） — CRYPTO · LOTTERY · INSURANCE · VC

四个 21 世纪的圣彼得堡变体

加密货币：21 世纪的圣彼得堡

假设你在历史某年用 ¥100 买入比特币，到今天回报是？

买入年份

{{ btcYear }} 年

{{ btcMultiple.toFixed(1) }}×

回报倍数

¥{{ formatBigNum(100 * btcMultiple) }}

¥100 变成

BTC 历史回报呈典型 power law 分布——少数巨大涨幅主导整个序列。这是 Peters 框架下的非遍历过程，单一玩家集合均值 ≠ 时间均值。

彩票：负期望的全民博弈

以美国 Mega Millions 为例（票价 $2，平均奖池 $40M）：

奖项	中奖概率（1/N）	奖金（USD）	期望贡献
{{ t.match }}	1 / {{ t.odds_one_in.toLocaleString() }}	${{ t.prize.toLocaleString() }}	${{ (t.prize / t.odds_one_in).toFixed(4) }}
合计期望收益			${{ lotteryEV.toFixed(2) }} / 票

票价 $2，期望收益 ${{ lotteryEV.toFixed(2) }}—— 买一张就期望亏 ${{ (2 - lotteryEV).toFixed(2) }}。
但人们仍然蜂拥而至——这正是 Kahneman-Tversky 前景理论中"低概率高收益"过度加权的体现。

保险：把厚尾"集合化"

保险公司本质上做的是：把每个个体的"非遍历厚尾损失"，通过大数定律转化为"集合内可预测的均值"。

被保险人视角

单笔损失分布厚尾（如重疾、火灾）→ 凹效用下买保险是理性的

保险公司视角

合并 N=10⁶ 个独立保单 → 大数定律使总损失收敛到期望 → 收保费 - 期望损失 = 利润

保险业的存在本身，就是对"非遍历过程"做"集合化"操作——把单个玩家的"时间风险"换成"集合风险"。这是 Peters 遍历经济学最直接的现实应用。

创业投资：Power Law 主导

YC 等创业孵化器的回报近似 Pareto 分布，少数巨大成功撑起整个基金：

回报倍数	项目占比	该档贡献期望
{{ o.multiple === 0 ? '归零' : o.multiple + '×' }}	{{ o.pct }}%	{{ (o.multiple * o.pct / 100).toFixed(2) }}×
组合期望		{{ vcExpected.toFixed(1) }}×

看似 50% 项目归零、25% 平庸——但 1.7% 的项目有 200×、0.3% 的项目有 1000×。这就是 VC 行业生存的根本：靠厚尾巨头的"圣彼得堡式回报"。

EPILOGUE

你的赌局

圣彼得堡悖论 287 年的接力

你的"理性 vs 直觉"对比卡

¥{{ userPrice }}

你的直觉报价

¥{{ formatNum(currentFairPrice) }}

{{ utilities.find(u => u.id === selectedUtility).name }}下的"公平价"

差距：{{ ((Math.abs(userPrice - currentFairPrice) / currentFairPrice) * 100).toFixed(0) }}%。但请记住—— 没有"标准答案"，只有"在哪个效用函数下你是理性的"。

制作马一丁 · 赵晨露 · 张智涵 · 赵文浩

《概率论与随机过程》期中小组探究项目 · 2026

基于 Bernoulli (1738) · Menger (1934) · vNM (1944) · Kelly (1956) · Kahneman & Tversky (1979) · Peters (2011) ……

"下一个 287 年，圣彼得堡的故事会怎么继续？"